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📚 Cours complet

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🤔 Qu'est-ce qu'une équation ?

Une équation est une égalité qui contient une ou plusieurs inconnues. Résoudre une équation, c'est trouver la (ou les) valeur(s) de l'inconnue qui rend l'égalité vraie.

L'inconnue est souvent représentée par la lettre x, mais on peut utiliser n'importe quelle lettre (y, z, a, t…).

Une équation a deux membres séparés par le signe = :

3x − 5
=
17

1er membre  ·  égalité  ·  2e membre

⚖️ La règle d'or : la balance

Imagine une balance en équilibre. Si tu ajoutes ou retires quelque chose d'un côté, tu dois faire la même opération de l'autre côté pour garder l'équilibre !

3x
+ quelque chose
=
12
+ la même chose

C'est ce qu'on appelle les propriétés des égalités : on peut ajouter, soustraire, multiplier ou diviser les deux membres par le même nombre (non nul).

🔍 Vocabulaire essentiel

→
Solution
La valeur de x qui rend l'équation vraie. On la note S = {valeur}
→
Vérification
On remplace x par la solution et on vérifie que les deux membres sont égaux
→
Équations équivalentes
Deux équations qui ont la même solution. On note ⟺ entre elles

Type ax = b

L'inconnue x est multipliée par un coefficient a. Pour l'isoler, on divise les deux membres par ce coefficient.

1
Identifier le coefficient de x
Le nombre qui multiplie x (peut être négatif ou fractionnaire)
2
Diviser les deux membres par ce coefficient
Rappel : diviser par a = multiplier par 1/a (son inverse)
3
Écrire la solution et vérifier
S = {valeur} · Remplacer x dans l'équation initiale
Exemple 1 · coefficient positif
5x = 30 5x ÷ 5 = 30 ÷ 5 → on divise les 2 membres par 5 x = 6    S = {6} Vérif : 5 × 6 = 30 ✓
Exemple 2 · coefficient négatif
−4x = 20 −4x ÷ (−4) = 20 ÷ (−4) → diviser par −4 x = −5    S = {−5} Vérif : −4 × (−5) = 20 ✓
Exemple 3 · coefficient fractionnaire
(2/3)x = 5 x = 5 × (3/2) → multiplier par l'inverse de 2/3 x = 15/2 = 7,5    S = {7,5} Vérif : (2/3) × 7,5 = 5 ✓

Type x + a = b

Un nombre est ajouté ou soustrait à x. On fait l'opération inverse des deux côtés pour isoler x.

1
Repérer le terme constant (+ a ou − a)
Le nombre qui n'est pas collé à x
2
Faire l'opération inverse des deux membres
Si +a → soustraire a des deux membres · Si −a → ajouter a
3
x est isolé → solution trouvée !
Exemple 1 · addition
x + 8 = 15 x + 8 − 8 = 15 − 8 → soustraire 8 des 2 membres x = 7    S = {7} Vérif : 7 + 8 = 15 ✓
Exemple 2 · soustraction + résultat négatif
x − 3 = −10 x − 3 + 3 = −10 + 3 → ajouter 3 des 2 membres x = −7    S = {−7} Vérif : −7 − 3 = −10 ✓
Exemple 3 · terme constant à droite
7 + x = −22 7 + x − 7 = −22 − 7 → soustraire 7 x = −29    S = {−29} Vérif : 7 + (−29) = −22 ✓

Type ax + b = c

Il faut deux étapes : d'abord éliminer le terme constant, ensuite diviser par le coefficient de x.

1
Éliminer le terme constant b
Soustraire (ou ajouter) b des deux membres → ax = c − b
2
Diviser par le coefficient a
Diviser les deux membres par a → x = (c − b) / a
3
Vérifier en remplaçant x
Exemple 1
3x − 5 = 7 3x − 5 + 5 = 7 + 5 → +5 des 2 membres 3x = 12 3x ÷ 3 = 12 ÷ 3 → ÷3 des 2 membres x = 4    S = {4} Vérif : 3×4 − 5 = 12 − 5 = 7 ✓
Exemple 2 · coefficient négatif
−2x + 1 = 9 −2x + 1 − 1 = 9 − 1 → −1 des 2 membres −2x = 8 −2x ÷ (−2) = 8 ÷ (−2) → ÷(−2) x = −4    S = {−4} Vérif : −2×(−4) + 1 = 8 + 1 = 9 ✓

Type ax + b = cx + d

L'inconnue x apparaît des deux côtés. Il faut rassembler tous les x d'un côté et tous les nombres de l'autre.

1
Rassembler les termes en x d'un côté
Ajouter ou soustraire cx des deux membres
2
Rassembler les constantes de l'autre côté
Ajouter ou soustraire b des deux membres
3
Diviser par le coefficient restant de x
4
Vérifier !
Exemple
5x + 3 = 2x + 12 5x − 2x + 3 = 12 → soustraire 2x des 2 membres 3x + 3 − 3 = 12 − 3 → soustraire 3 des 2 membres 3x = 9 → x = 3 S = {3} Vérif G: 5×3+3 = 18 · Vérif D: 2×3+12 = 18 ✓

⚠️ Trois cas particuliers

0x = 0

Indéterminée
Infinité de solutions · S = ℝ

0x = 5

Impossible
Aucune solution · S = ∅

−3x = 0

Solution unique
x = 0 · S = {0}

💡 Astuce pour les parenthèses :
· Si +( ) → on ne change rien
· Si −( ) → on change le signe de chaque terme
· Si a.( ) → on distribue (multiplication)
S'entraîner →